为什么要学习数学？

在基础学科中，数学是大家认识反差最大的一门学科。有人说数学是训练思维的体操，也有人说天若有情天亦老，人学数学死得早。有人说宇宙之大、粒子之微，无处不用数学。也有人说除了数钱，我不用数学。为什么对数学会有负面看法，原因是他们不知道为什么要学数学。 
　　学习数学应有两个目标：一是帮助我们认识世界。世界是丰富多彩的。学好数学就像孙悟空有了一副火眼金睛，可以帮助看清世界的面目。二是提高我们的科学素养。数学有知识、能力和意识三个层次，美国数学教师协会把数学能力归纳为：数的运算能力、问题解决能力、逻辑推理能力、数学联结能力、数学交流能力和数学表达能力。意识是对知识融汇贯通后的感悟能力。美国教育学家L.Katz解释说，意识是“相对稳定的思维意识习惯”。数学的能力和意识都是科学素养的组成部分。数学使人聪明，数学使人完美。 
　　一、因果关系是我们非常熟悉的一个词汇，学习努力了，成绩就提高了。医生找到了病因，对症下药后，患者就好了。数学告诉我们，生活中还有一种相关关系，它为我们认识世界提供了一个新的途径。 
　　众所周知，一个家庭中婴儿出生，可能是男的，也可能是女的。但在一个城市中，男女婴儿出生比率是稳定的。英国人格朗特把这一规律称为“统计比率的稳定性”。皮尔逊把这一性质广泛应用在生物统计中，并提出了“相关关系”概念。相关关系是一种非确定的关系，如身高和体重、年龄和血压、降雨量与河水流量等等。对某一变量的一个数值，另一变量可以有很多个数值与之对应，出现哪一个数值事先不能确知，但它们出现的频率是稳定的。 
　　相关关系在大数据时代已经成了热门词汇，大数据给人们最大的转变是，只要知道“是什么”，而不需要知道“为什么”。这颠覆了千百年来人类的思维惯例，是对人类的认知和世界交流的方式提出了全新的挑战。《大数据时代》作者牛津大学教授维克托·迈尔·舍恩伯格在接受《文汇报》采访时，是这样回答的： 
　　问：在《大数据时代》一书中，您明确指出，大数据时代最大的转变就是，放弃对因果关系的渴求，而取而代之关注相关关系。也就是说只要知道“是什么”，而不需要知道“为什么”。这一观点被很多人认为是您最具价值的发现，也是挖掘大数据最为重要的逻辑。而事实上，这一观点也为您惹来了很多的争议。连译者电子科技大学的周涛教授都在序言里表示看不下去，他甚至认为如果放弃因果关系的分析，是人类的堕落。我想请问：在大数据的逻辑中，因果关系真的不重要吗？ 
　　答：我并不想说“相关关系”比“因果关系”更重要。我只是想强调这样一点，过去我们认识世界的方式主要是通过“因果关系”，但是现在又多了一个方法——“相关关系”。可以说，“相关关系”为我们认识世界提供了一个新方法。 
　　我能理解为什么许多读者都更加倾向于探究“因果关系”。事实上，我本人也是如此，这是我们从小到大的一种思维习惯。举例来说，如果有一天我去餐馆就餐后，突然感觉到肚子痛，我的第一个想法便是我在餐馆吃了变质的食物。但是，造成肚子痛的原因也极可能是我与一个携带病菌的朋友握了手。因此，“相关关系”有时能为我们理解世界提供一个不同的方向。 
　　我觉得，谦虚的心理与包容的心态在大数据时代尤为重要。很多时候，我们并不能了解“为什么”，我们可以做的便是知晓“是什么”。与其对虚幻的原因穷追不舍，倒不如聚焦于真实存在的事情本身。事实上，有时“是什么”解决了，“为什么”也会迎刃而解。所以，我并不是说“相关关系”比“因果关系”更重要，而是想说，当我们并不能掌握“因果关系”时，“相关关系”不失为一个更简便、快捷的思维方式。（《文汇报》，20131124.） 
　　鄂威多年从事广告营销工作，他在数据挖掘时发现：听罗大佑现场演唱的人，对上海大众汽车的兴趣会提高30%。追究一下原因，可以发现喜欢这类款式车的人，大致是35岁左右居家型，希望提高生活品质的男性。这类人买大众汽车的频率是稳定的。根据这一分析，鄂威修改了促销计划，获得了良好的效果。 
　　《财经国家周刊》报导，用新浪微博的数据显示，2013年前11个月，提及“婆婆+房子”的微博仅有785条，提及“丈母娘+房子”的微博有463691条。由此可见，婆媳关系中的房子并非是关注焦点，并可预见丈母娘对中国房地产市场有着潜在的推动作用。与之印证的是，安徽一家房地产商打出的口号是：“你可以不买房，除非你能摆平丈母娘。” 
　　如果你掌握了“相关关系”等数学内容，就为你认识世界多开了一扇窗口。 
　　二、人类认识世界一种是通过科学实验，如居里夫人在实验室中发现了放射性元素。一种是通过理论研究，如牛顿总结了力学三定律。数学提供了另一种方法，称为数学模拟法。银行如何确定存款的利率？利率高了银行亏本，定低了就会减少储蓄，一般是决策部门通过数学模拟方法确定出合理的利率。 
　　上世纪八十年代，我国还是计划经济时代，每个县市的计划委员会都要下达一年的种植计划。一般制定这一计划是根据多年的经验给出的，不过有时也会出现瞎指挥的情况。 
　　1983年，我们和济南市合作，完成了《系统工程在长清县农牧业最优结构布局的研究》，即根据当地的土地情况和种植不同作物的效益，给出了一个数学模型，然后对不同的种植方案在模型上演算，最后找出一个优化方案。在长清县委、政府的大力支持下，1985年实施优化方案后，农牧业增值两千多万元。《农民日报》1985年8月19日报导：“运用系统工程调整产业结构，长清县建立了最佳种植业畜牧布局。”《人民日报》1986年8月17日报导：“山东长清县运用软科学指挥农业生产尝到甜头，不凭经验办事，要靠科学决策。”并发表一个编余短论“重新学习当领导”。这一经验在山东、江苏多地推广，并称为“长清模式”。 
　　互联网的普及使“数学农业”得到了充分的发展，《瑞士商报》网站2016年5月5日报导了“数字农田—农田上的计算程序”，介绍了德国巴伐利亚州的农业企业家采用FarmFacts程序，使耕作更为精确和有效。数学模拟法在计算化学中得到了最成功的应用。在计算化学中，有量子化学和分子化学两大类算法。美国科学家卡普拉斯、莱维特和瓦谢尔利用数学模拟方法，给出了两大类相结合的计算方法，解决了分子化学中不能模拟酶催化等生物化学的反应，和量子化学不能计算蛋白质的缺陷。这一成果获得了2013年的诺贝尔化学奖。（《文汇报》，20131014） 
　　如果你能给出未知世界一个数学模型，那么你就能看清这个未知世界中的每一个角落。 
　　三、日本数学家米山国藏曾说：“作为知识的数学出校门不到两年就忘了。将知识忘却后剩下的东西，这其中核心的成分就是数学思维。”这里的数学思维就是数学意识，有一封信说明数学意识给一个人的影响。 
　　亲爱的华罗庚先生： 
　　我是一个普通的女青年，数学成绩毫不出色，就连算数都不大灵光。但我人生中最重要的数学课却与你有关。至今，我仍记得你在《统筹方法》里以“泡茶”为例。告诉人们，比起先洗茶杯，再拿茶叶，最后烧水的步骤。先烧水，并在等水开的过程中洗茶杯、拿茶叶，是更节省时间的办法。 
　　通过这篇不到1000字的文章，语文老师要向学生讲解写说明文的技巧，打比方、举例子、列图表。可这一切远没有文章本身影响巨大。亲爱的华罗庚先生，你去世时，距离我出生还有大半年。但你和小学课本里那种“安排工作进程的数学方法”却深深地影响着我。直到今天，从把水壶放上炉子的那一秒钟开始，我就会在厨房里洗杯子、找茶叶，如果只是坐在那里眼巴巴的望着炉火上的水壶，内心就会因自己的无所事事而充满羞愧感。出门开始一场漫长的地铁旅程前，我也会随手抓几个陌生的英语小纸条；当按下按钮，等待电脑开机时，我会给自己倒一杯茶……我很难计算出“统筹方法”帮助我节省了多少时间。 
　　我想我并不是唯一一个中了“统筹方法”魔咒的人，和我一样因为一篇课文改变了一生习惯的人应该有很多吧！ 
　　——一个深深迷恋统筹方法的女青年旅美学者陈宇华讲述过一次经历，他在斯坦福大学毕业后，去报考世界著名的科尔尼咨询顾问公司。面试气氛很轻松，一位主考官拉家常一样地问了一些和简历有关的问题。然后话锋一转问：“香港该有多少只老鼠？”陈宇华一下懵了。本能地问：“需要准确的数字吗？”考官说并不需要。陈开始冷静地分析，老鼠一般分布在居民的家中或工厂的下水道里。在家中一般富裕家庭中少些，贫困家庭中多些。因此，应该把香港家庭按不同卫生标准划分区域，然后在每个家庭区域抽取家庭样本，求出不同区域中家庭的平均老鼠密度。再乘以这个区域的家庭总数，可以估计老鼠的总数。这样，他顺利通过了面试。陈的经历我们大概不会遇到，但是分门别类、由繁化简、破茧成蝶（转化）的思维模式，我们是可以借鉴的。（《文汇报》，2004115） 
　　经济建设的发展，各行各业都需要培养创新人才。创新人才必须具有较高的科学素养，数学意识就是其中的一部分。在社会上我们会遇到各种情况，如教人买彩票的，替人算命的，甚至有帮人选股票的……这些都是利用人们对不确定的迷信玩的把戏。数学思维能告诉我们，哪些是不确定的，哪些是确定的。有了数学思维，生活就不会那么多的模糊，数学思维的人多了，骗子的空间就没有了。 
　　有了数学意识说明你的科学素养提高了，你和创新人才的距离就缩小了一步。有了数学思维说明你的识别能力提高了，你就像练成火眼金睛的目标又靠近了一步。 
　　四、2012年新浪微博开展过“数学滚出高考”的调查。在16万被访群众中，有12多万人支持“数学滚出高考”，占受访者75%以上。大家厌恶数学的原因应该是我国数学教育方向出现了偏差。 
　　数学教育的目标应该是传承数学文化，既有知识的讲授，还有能力的培养和数学意识的形成。但是我国数学教育的主流是：只重视知识的传授。表现为重知识轻方法、重理论轻应用、重传授轻思维、重课内轻课外的偏向。 
　　向人民群众传播数学文化，在国内外有很多经验可以学习。 
　　华罗庚是国际著名的数学家，他的“典型域上的多元复变函数论”1956年获得我国最高科学一等奖。但华老是一位非常注意向人民推广数学文化的大师。王元院士介绍，华老受网络分析的启发，以泡茶为例，介绍了统筹方法。他编写的《统筹方法平话》1965年6月6日在《人民日报》全文发表，影响了整个一代人。 
　　更可贵的是华老亲自带领推广统筹法、优选法的小分队，走遍我国20多个省、市、自治区的上万个城镇。在节约能源、降低消耗、增加产量、缩短工期等方面取得了显著的经济效益，并且培养了一批为国民经济直接服务的数学队伍。 
　　美国是一个要求国民具有较高科学素养的国家。学者石毓智介绍，在斯坦福大学数学系开设有两门有趣的课程，一是“围棋中的数学”，二是“打结的数学”。下围棋、打毛衣这类活动，我国远比美国更加普及。然而没有人听说有人在研究其中的数学问题，更不会有人把方法搬上大学的课堂。更让石毓智感动的是，2011年2月29日，斯坦福大学数学系举办一场讲座，一位90多岁的老太太坐着轮椅进来的。因为年事已高，头无法坚持直起来，但是她还是坚持听完一个多小时的报告。在美国七八十岁的老人来听科学报告的大有人在。这说明了美国老百姓的价值观和社会风尚，也说明了科学发展在美国有着深厚的群众基础。 
　　记者沈敏曾报道，伦敦政治经济学院办过一期会计与金融硕士研究生班，其中有高强度的数学和会计课程。我们知道要让学金融的人接受微积分、概率与数理统计等内容并非易事。但牛津大学的托莫科斯教授讲课别具一格，深受学员欢迎。 
　　托莫科斯教授首先从大家关心的问题说起，他说不同的人对买车有不同的理解，有人把车当成代步的工具，也有人把车当成社会地位的标志。因此，不同的人所偏好的车类型也不同。但有一点是相同的，那就是花尽量少的钱，买尽可能好的车！现在市场上有三种车：A 8000英镑，B 9000英镑，C 14500英镑。约翰想买一辆车，他对A的满意度偏低，对B的满意度较高，对C的满意度最高。我们假设约翰对各类汽车的满意度取决于汽车的速度（S）和耐用性（Y）。约翰对速度偏好，而他父亲则偏好耐用性，不同偏好可用数学表达式表示出来……这些就需要应用数学中的微积分学。 
　　接下来的几天，教授以如何在不同条件下，预测这个班一年后有多少人会拿到学位，多少人拿不到学位为例，讲解了概率与数理统计学数学知识。课程难度越来越大，但大家的兴趣越来越高。 
　　一名来自中国人民大学的学员感触地说：“如果国内数学课也能这样讲，我会很热爱数学的。国内数学课通常先告诉同学，今天讲微积分，那么什么是微积分？表达式是什么？如何求解？有何性质定理？如何推导？最后，大家被一堆复杂公式搞得昏昏欲睡时，才开始简单地讲微积分的实际应用和意义。”（《环球时报》，20041025） 
　　蔡天新教授在浙江大学数学系已任教25年，2014年6月，他主讲的《数学传奇》登陆“爱课程”（icourses）网。这是一个教育部打造的中国大学视频公开课网站，包括国内394所高校的1038门课程。《数学传奇》上榜后一直稳居“爱课程”人气榜前三位。蔡教授认为：长久以来，国内的一些科普工作包括数学在内，主要落脚点是把复杂问题简单化、通俗化，也就是让外行人了解一些专业问题。他的新思路是，要把数学和文化真正意义上打通，这样才能提高人民的数学修养。（《文汇报》，2014822） 
　　蔡天新还把一位33岁的杭州下沙物流工人余建春请上浙大数学系的讲坛。在下面听课的有教授和数论专业的博士生等。余建春在研究数理领域中的卡迈克尔数方面很有造诣。 
　　在耶鲁，九十多岁的老人来听数学讲座，在浙大一位白领工人走上讲堂。这说明了只有普通人来参与，数学才显示出巨大的生命力。 
　　大数据时代是一个要求国民科学素质有较高水平的时代，数学教育将是决定大数据发展的核心社会因素。这对我国数学教育即是挑战，更多的是机遇。经验可以借鉴，探索必须亲自践行。敢问数学教育改革和路在何方？记住路就在自己的脚下。

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